經濟學歐拉定理證明

A. 歐拉定理怎麼證明

用拓樸學方法證明歐拉公式

圖嘗試一下用拓樸學方法證明關於多面體的面、棱、頂點數的歐拉公式。
歐拉公式：對於任意多面體（即各面都是平面多邊形並且沒有洞的立體），假設F，E和V分別表示面，棱（或邊），角（或頂）的個數，那末
F-E+V=2。
證明
如圖（圖是立方體，但證明是一般的，是「拓樸」的）：
（1）把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體。
（2）去掉多面體的一個面，就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設F′，E′和V′分別表示這個平面圖形的（簡單）多邊形、邊和頂點的個數，我們只須證明F′-E′+V′=1。
（3）對於這個平面圖形，進行三角形分割，也就是說，對於還不是三角形的多邊形陸續引進對角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進一條對角線，F′和E′各增加1，而V′卻不變，所以F′-E′+V′不變。因此當完全分割成三角形的時候，F′-E′+V′的值仍然沒有變。有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。
（4）如果某一個三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△ABC，去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊，即AC，這樣也就去掉了△ABC。這樣F′和E′各減去1而V′不變，所以F′-E′+V′也沒有變。
（5）如果某一個三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△DEF，去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊，即DF和EF，這樣就去掉△DEF。這樣F′減去1，E′減去2，V′減去1，因此F′-E′+V′仍沒有變。
（6）這樣繼續進行，直到只剩下一個三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。
（7）因為原來圖形是連在一起的，中間引進的各種變化也不破壞這事實，因此最後圖形還是連在一起的，所以最後不會是分散在向外的幾個三角形，像圖中⑦那樣。
（8）如果最後是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個三角形，也就是去掉1個三角形，3個邊和2個頂點。因此F′-E′+V′仍然沒有變。
即F′-E′+V′=1
成立，於是歐拉公式：
F-E+V=2
得證。

B. 歐拉定理的經濟學

歐拉定理指出：如果產品市場和要素市場都是完全競爭的，而且廠商生產的規模報酬不變，那麼在市場均衡的條件下，所有生產要素實際所取得的報酬總量正好等於社會所生產的總產品。該定理又叫做邊際生產力分配理論，還被稱為產品分配凈盡定理。如上所述，要素的價格是由於要素的市場供給和市場需求共同決定。在完全競爭的條件下，廠商和消費者都被動地接受市場形成的價格。 在完全競爭的條件下，廠商使用要素的原則是：要素的邊際產品價值等於要素價格。即:
P*MPL=W (1)
P*MPK=r (2)
由式1和2可得：
MPL=W/P (3)
MPK=r/p(4
P為產品的價格，W/P和r/P分別表示了勞動和資本的實際報酬。因為在完全競爭的條件下，單位勞動、單位資本的實際報酬分別等於勞動、資本的邊際產量。假定整個社會的勞動總量和資本總量為L和K，而社會總產品為Q,由在市場均衡的條件下，所有生產要素實際所取得的報酬總量正好等於社會所生產的總產品,得:
Q=L*MPL+K*MPK(5)
式5稱為歐拉分配定理。它是由於該定理的證明使用了數學上的歐拉定理而得名。 假設生產函數為：Q=f(L.K)(即Q為齊次生產函數),定義人均資本k=K/L
方法1:根據齊次生產函數中不同類型的生產函數進行分類討論
(1)線性齊次生產函數
n=1,規模報酬不變,因此有:
Q/L=f(L/L,K/L)=f(1,k)=g(k)
k為人均資本，Q/L為人均產量，人均產量是人均資本k的函數。
讓Q對L和K求偏導數,有:
∂Q/∂L=∂[L*g(k)]/∂L=g(k)+L*[dg(k)/dk]*[dk/dL]=g(k)+L*g』(k)*(-K/L)=g(k)-k*g』(k)
∂Q/∂K=∂[L*g(k)]/ ∂K=L*[∂g(k)/∂k]=L*[dg(k)/dk]*[∂k/∂K]=L*g』(k)*(1/L)=g』(k)
由上面兩式，即可得歐拉分配定理：
L*[∂Q/∂L]+K*[∂Q/∂K]=L*[g(k)-k*g』(k)]+K*g』(k)=L*g(k)-K*g』(k)+K*g』(k)=L*g(k)=Q
(2)非線性齊次生產函數
1.當n〉1時，規模報酬遞增，如果按照邊際生產力分配，則產品不夠分配給各個生產要素，即：
L*[∂Q/∂L]+K*[∂Q/∂K]>Q
2.當n<1時，規模報酬遞減，如果按邊際生產力進行分配，則產品在分配給各個生產要素之後還有剩餘，即：
L*[∂Q/∂L]+K*[∂Q/∂K]<Q
方法2：設一個一般的齊次生產函數Q=f(L,K)為n齊次（即n任意的齊次生產函數，既可以是線性的，也可以是非線性的），則有：
Q=L *g(k)
將該函數對K，對L求偏導數，得：
∂Q/∂K=g』(k)
∂Q/∂L=ng(k)-kg』(k)
綜合上述兩式，有：
L*(∂Q/∂L)+K*(∂Q/∂K)=nL*g(k)=nQ
當n=1時，規模報酬不變，該式即為歐拉分配定理
當n〉1時，規模報酬遞增，故有：
L*[∂Q/∂L]+K*[∂Q/∂K]>Q
當n<1時，規模報酬遞減，故有：
L*[∂Q/∂L]+K*[∂Q/∂K]<Q 在技術經濟學中，歐拉定理屬於一次齊次函數的一個重要性質，它是說一次齊次函數的數值都可以表示為各自變數和因變數對相應自變數一階偏導的乘積之和。在理論上，這句話顯得很晦澀，可以用一個很形象的例子來解釋。
假設有兩個人，他們一個有十個胡蘿卜的種子，另外一個有種胡蘿卜的經驗，他們打算合作，前者出種子，後者出勞力，用十天的時間來種植胡蘿卜。在這過程中，風調雨順，沒有什麼意外，種子全部茁壯成長，擁有種植經驗的人也盡職盡責，最後得到的胡蘿卜的產量是最大化的，有十公斤。而每個種子的在自然狀態下能產出0.5公斤的胡蘿卜，勞動者每一天能辛勞能使胡蘿卜在最終增加0.5公斤，所以最後的產量也是10=0.5*10+0.5*10，即種子(資本)的邊際產出乘以資本量加上勞動的邊際產出乘以勞動量等於總產出。
上邊是對歐拉定理在經濟學中一次齊次生產函數的解釋。但是它又有什麼深刻地含義呢?在宏觀經濟中，上述的歐拉定理可以被解釋為收入的分配，也就是在胡蘿卜的例子中，前五公斤的蘿卜是由資本所作出的貢獻，後五公斤是由勞動所作出的貢獻，如果社會這種很理想量化的貢獻來分配產出，那麼社會的分配時公平也富有效率的，也是能夠自動將產出出清的。
這樣看來，一個社會的產出如果能用歐拉定理將各種生產要素的貢獻清晰量化，按貢獻分配產出，那麼這個社會是如此的美好啊，至少每個勞動者，每個資本擁有者用了生產的動力，不會像人民公社中的按需分配的成員那樣隨處搭便車，產生囚徒困境的窘境，也不會像如今這樣勞動者到處訴苦說自己的貢獻在社會分配中被低估，而國家有制定最低工資制度，結果造成在位者的得利，失業者的痛苦。
也有人一定會指責歐拉定理的理想狀態，肯定會說，這樣的話整個社會的產出就被當期消費掉了，沒有留下盈餘成為資本來在將來擴大再生產，我們的後代怎麼辦?餓肚子么?其實這個問題也是值得考慮的，吃光了的，甚至把種子都吃了，將來當然會一命嗚呼，但是盈餘讓勞動者，資本所有者們在當期享樂，總比把當期的盈餘變成各種「白宮」好吧?

C. 如何證明經濟學中的歐拉定理

這些數學式子比較復雜，網路不能編輯， 推薦你去看高山晟的《數理經濟學》或者《經濟學的數學分析》它裡面有詳細解答的。

D. 經濟學 中有關歐拉生產函數的證明問題

這是偏導數復合函數求導定義啊，多元函數偏導數求導是f對f的第一個變數求偏導在乘以第一個變數對m求導，f對ml求偏導就是對第一個變數求導，f對l求偏導也是f對第一個變數求偏導，不管第一個變數是什麼都不影響f對第一個變數求偏導

E. 經濟學分析 歐拉定理

（1）：將等式y=MP1*x1+MP2*x2兩邊同除以x1，得到：
y/X1=MP1+MP2*(x2/X1)。 由於AP1=y/X1，所以移項後得到：
MP2*(x2/X1)=AP1-MP1，所以當MP1>AP1時，MP2*(x2/X1）<0，由專於x1、x2均大於屬0，所以可知
MP2<0，即MP2必為負數。

經濟含義：當增加一單位某要素（x1）所產生平均產量大於其邊際產量時，則另一種要素（x2）的邊際產量會下降。所以，企業某一要素的合理投入量應是其邊際產量小於或等於平均產量的時候。

（2）：將等式y=MP1*x1+MP2*x2邊同除以x1後移項，得到：

MP2=y/x2+MP1*(x1/x2)，之後MP2對x1求導，可得到：
d(MP2)/d(x1)=MP1/x2，由於企業的MP1、x2均應大於0，可知：
d(MP2)/d(x1)>0，即MP2是x1的增函數，二者成正相關，所以每增加一單位X1的使用必然提高X2的邊際產量。

F. 歐拉定理公式的證明

簡單多面體的頂點數V、面數F及棱數E間有關系
V+F-E=2

這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、棱數特有的規律。

方法1：（利用幾何畫板）
逐步減少多面體的棱數，分析V+F-E
先以簡單的四面體ABCD為例分析證法。
去掉一個面，使它變為平面圖形，四面體頂點數V、棱數V與剩下的面數F1變形後都沒有變。因此，要研究V、E和F關系，只需去掉一個面變為平面圖形，證V+F1-E=1
（1）去掉一條棱，就減少一個面，V+F1-E不變。依次去掉所有的面，變為「樹枝形」。
（2）從剩下的樹枝形中，每去掉一條棱，就減少一個頂點，V+F1-E不變，直至只剩下一條棱。
以上過程V+F1-E不變，V+F1-E=1，所以加上去掉的一個面，V+F-E =2。
對任意的簡單多面體，運用這樣的方法，都是只剩下一條線段。因此公式對任意簡單多面體都是正確的。

方法2：計算多面體各面內角和
設多面體頂點數V，面數F，棱數E。剪掉一個面，使它變為平面圖形（拉開圖）,求所有面內角總和∑α
一方面，在原圖中利用各面求內角總和。
設有F個面，各面的邊數為n1,n2，…，nF，各面內角總和為：
∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]
= (n1+n2+…+nF -2F) ·1800
=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）
另一方面，在拉開圖中利用頂點求內角總和。
設剪去的一個面為n邊形，其內角和為(n-2)·1800，則所有V個頂點中，有n個頂點在邊上，V-n個頂點在中間。中間V-n個頂點處的內角和為(V-n)·3600，邊上的n個頂點處的內角和(n-2)·1800。
所以，多面體各面的內角總和：
∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800
=（V-2）·3600. （2）
由(1)(2)得： (E-F) ·3600 =（V-2）·3600
所以 V+F-E=2.
（1）分式：
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
當r=0,1時式子的值為0
當r=2時值為1
當r=3時值為a+b+c

（2）復數
由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：
sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i
cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2

（3）三角形
設R為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則：
d＾2=R＾2-2Rr

（4）多面體
設v為頂點數，e為棱數，f是面數，則
v-e+f=2-2p
p為歐拉示性數，例如
p=0 的多面體叫第零類多面體
p=1 的多面體叫第一類多面體

(5) 多邊形
設一個二維幾何圖形的頂點數為V，劃分區域數為Ar，一筆畫筆數為B,則有：
V+Ar-B=1
(如：矩形加上兩條對角線所組成的圖形，V=5,Ar=4,B=8)

(6). 歐拉定理
在同一個三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九點圓圓心Nine-point-center、垂心Orthocenter共線。

其實歐拉公式是有很多的，上面僅是幾個常用的。

G. 歐拉定理的三種證明方式是什麼

證明1:(歸納面）
將一個圖先 "嵌入" 二維平面得到圖G.
當G只有一個面時 : E(1) = V(1) - 1 + F(1) - 1
當G有N個面時,
設: E(N) =V(N-1) - 1 +F(N-1) - 1
我們內去除一條G中兩個面的一條臨容邊, 得到G有 N-1個面時
E(N-1) = E(N)- 1
V(N-1) = V(N)
F(N-1) = F(N)
故: E(N-1) =V(N-1) - 1 + F(N-1) - 1
叢而歸納出歐拉公式成立
證明2：（歸納頂點）
將一個圖先 "嵌入" 二維平面得到圖G.
當G只有一個頂點時 (一個簡單環 )
F(1) + V(1) - E(1) = (E(1) + 1) + 1 - E(1) = 2
當G有N個頂點時, 假設結論成立
我們去除一條G中兩個面的一條臨邊, 得到G有 N-1個面時 ,面和邊各減少1. 故結論成立
證明3：（歸納邊）
和上面的方法一個思路
略.

H. 經濟學中歐拉定理是什麼

在西方經濟學里，抄產量和生產要襲素L、K的關系表述為Q＝Q(L，K)，如果具體的函數形式是一次齊次的，那麼就有：Q＝L(ðQ/ðL)＋K(ðQ/ðK)，換句話說，產品分配凈盡取決於Q能否表示為一個一次齊次函數形式。
因為ðQ/ðL＝MPL＝w/P被視為勞動對產量的貢獻，ðQ/ðK＝MPK＝r/P被視為資本對產量的貢獻，因此，此式被解釋為「產品分配凈盡定理」，也就是所有產品都被所有的要素恰好分配完而沒有剩餘。因為形式上符合數學歐拉定理，所以稱為歐拉定理。

I. 經濟學中歐拉定理是什麼 不是數學幾何中那個~

在西方經濟學里,產量和生產要素L、K的關系表述為Q＝Q(L,K),如果具體的函數形式是一次齊專次的,那麼就有：Q＝L(ðQ/ðL)＋屬K(ðQ/ðK),換句話說,產品分配凈盡取決於Q能否表示為一個一次齊次函數形式.
因為ðQ/ðL＝MPL＝w/P被視為勞動對產量的貢獻,ðQ/ðK＝MPK＝r/P被視為資本對產量的貢獻,因此,此式被解釋為「產品分配凈盡定理」,也就是所有產品都被所有的要素恰好分配完而沒有剩餘.因為形式上符合數學歐拉定理,所以稱為歐拉定理.

J. 歐拉定理的證明

簡單多面體的頂點數V、面數F及棱數E間有關系 V+F-E=2 這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、棱數特有的規律。 方法1：（利用幾何畫板） 逐步減少多面體的棱數，分析V+F-E 先以簡單的四面體ABCD為例分析證法。 去掉一個面，使它變為平面圖形，四面體頂點數V、棱數V與剩下的面數F1變形後都沒有變。因此，要研究V、E和F關系，只需去掉一個面變為平面圖形，證V+F1-E=1 （1）去掉一條棱，就減少一個面，V+F1-E不變。依次去掉所有的面，變為「樹枝形」。 （2）從剩下的樹枝形中，每去掉一條棱，就減少一個頂點，V+F1-E不變，直至只剩下一條棱。 以上過程V+F1-E不變，V+F1-E=1，所以加上去掉的一個面，V+F-E =2。 對任意的簡單多面體，運用這樣的方法，都是只剩下一條線段。因此公式對任意簡單多面體都是正確的。 方法2：計算多面體各面內角和 設多面體頂點數V，面數F，棱數E。剪掉一個面，使它變為平面圖形（拉開圖）,求所有面內角總和∑α 一方面，在原圖中利用各面求內角總和。 設有F個面，各面的邊數為n1,n2，…，nF，各面內角總和為： ∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800] = (n1+n2+…+nF -2F) ·1800 =(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1） 另一方面，在拉開圖中利用頂點求內角總和。 設剪去的一個面為n邊形，其內角和為(n-2)·1800，則所有V個頂點中，有n個頂點在邊上，V-n個頂點在中間。中間V-n個頂點處的內角和為(V-n)·3600，邊上的n個頂點處的內角和(n-2)·1800。 所以，多面體各面的內角總和： ∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800 =（V-2）·3600. （2） 由(1)(2)得： (E-F) ·3600 =（V-2）·3600 所以 V+F-E=2. （1）分式： a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 當r=0,1時式子的值為0 當r=2時值為1 當r=3時值為a+b+c （2）復數 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2 （3）三角形 設R為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則： d＾2=R＾2-2Rr （4）多面體 設v為頂點數，e為棱數，f是面數，則 v-e+f=2-2p p為歐拉示性數，例如 p=0 的多面體叫第零類多面體 p=1 的多面體叫第一類多面體 (5) 多邊形 設一個二維幾何圖形的頂點數為V，劃分區域數為Ar，一筆畫筆數為B,則有： V+Ar-B=1 (如：矩形加上兩條對角線所組成的圖形，V=5,Ar=4,B=8) (6). 歐拉定理 在同一個三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九點圓圓心Nine-point-center、垂心Orthocenter共線。 其實歐拉公式是有很多的，上面僅是幾個常用的。