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楊輝三角經濟學
發布時間：2021-02-22 14:55:20㈠ 楊輝三角的規律是什麼
1、 每個數等於抄它上方兩襲數之和。
2、 每行數字左右對稱，由1開始逐漸變大。
3、 第n行的數字有n+1項。
4、
第n行數字和為2^(n-1)（2的(n-1)次方）。
5、 (a+b)^n的展開式中的各項系數依次對應楊輝三角的第(n+1)行中的每一項。
6、 第n行的第m個數和第n-m個數相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，這是組合數性質。
因此，二項式定理與楊輝三角形是一對天然的數形趣遇，它把數形結合帶進了計算數學。求二項式展開式系數的問題，實際上是一種組合數的計算問題。用系數通項公式來計算，稱為「式算」；用楊輝三角形來計算，稱作「圖算」。
㈡ 楊輝三角極其定理
楊輝三角（1）
目的要求
1．了解有關楊輝三角的簡史，掌握楊輝三角的基本性質。
2．通過研究楊輝三角橫行的數字規律，培養學生由特殊到一般的歸納猜想能力。
3．通過小組討論，培養學生發現問題。探究知識、建構知識的研究型學習習慣及合作化學習的團隊精神。
內容分析
本課的主要內容是總結楊輝三角的三個基本性質及研究發現楊輝三角橫行的若干規律。
楊輝三角的三個基本性質主要是二項展開式的二項式系數即組合數的性質，它是研究楊輝三角其他規律的基礎。楊輝三角橫行的數字規律主要包括橫行各數之間的大小關系。組合關系以及不同橫行數字之間的聯系。
研究性課題，主要是針對某些數學問題的深入探討，或者從數學角度對某些日常生活中和其他學科中出現的問題進行研究。目的在於培養學生的創新精神和創造能力。它要求教師給學生提供研究的問題及背景，讓學生自主探究知識的發生發展過。從問題的提出、探索的過程及猜想的建立均主要由學生自主完成，教師不可代替，但作為組織者，可提供必要指導。
教師首先簡介楊輝三角的相關歷史，激發學生的民族自豪感和創造慾望，然後引導學生總結有關楊輝三角的基本知識（研究的基礎）及介紹發現數字規律的主要方法（研究的策略），並類比數列的通項及求和，讓學生對n階楊輝三角進行初步的研究嘗試活動，讓學生充分展開思維進入研究狀態。
以下主要分小組合作研究楊輝三角的橫行數字規律，重點發現規律，不必在課堂上證明。
教學過程
（一）回顧舊知
1．用電腦展示賈憲三角圖、朱泄傑的古法七乘方圖、帕斯卡三角圖（附後），同時播放用古代民族樂器演奏的音樂。
教師介紹楊輝三角的簡史：北宋人賈憲約1050年首先使用「賈憲三角」進行高次開方運算，南宋數學家楊輝在《詳解九章演算法》（1961年）記載並保存了「賈憲三角」，故稱楊輝三角。元朝數學家朱世傑在《四元玉鑒》（1303年）擴充了「賈憲三角」成「古法七乘方圖」。在歐洲直到1623年以後，法國數學家帕斯卡在13歲時發現了「帕斯卡三角」。
2．用電腦展示15階楊輝三角或事先印好15階楊輝三角分發給學生。對照楊輝三角，回顧高二下學期學過的楊輝三角的構造及基本性質，並由學生敘述。
1°與二項式定理的關系：楊輝三角的第n行就是二項式 展開式的系數列 。
2°對稱性：楊輝三角中的數字左、右對稱，對稱軸是楊輝三角形底邊上的「高」，即 。
3°結構特徵：楊輝三角除斜邊上1以外的各數，都等於它「肩上」的兩數之和，即 。
（二）分組研究楊輝三角橫行規律（將全班學生按前後排四或五人一組分成若干研究小組）
1．介紹數學發現的方法：楊輝三角中蘊涵了許多優美的規律。古今中外，許多數學家如賈憲、楊輝、朱世傑、帕斯卡、華羅庚等都曾深入研究過，並將研究結果應用於其他工作。他們研究的方法可以歸納為：
15階楊輝三角
2．學生嘗試探索活動。
（1）n階楊輝三角中共有多少個數？
（2）n階楊輝三角的通項公式是什麼？即n階楊輝三角中的第k行第r個數是什麼？
（3）n階楊輝三角的第k行各數的和是多少？所有數的和是多少？
學生獨立思考後，由學生發言，得出結論。n階楊輝三角中共有 個數， 第n+2行第3個數；通項公式為 ， ， 。
3．按研究橫行數字規律的方向開展研究工作，工作的重點是發現規律。教師巡視指導，必要時可參與某小組的討論活動。最後由小組代表陳述研究結果及建立猜想的大致思路。
（1）楊輝三角的第2k行中第k個數最大；即 ；第2k＋1行中第是k個數與第k＋l個數相等且最大，即 ；2k階楊輝三角中最大數為 ，2k＋1階楊輝三角中的最大數為
。
（2）楊輝三角中第 行的所有數都是奇數（k∈N*），即 為奇數（m=0，1，…， ）；第 行的所有數（除兩端的1以外）都是偶數（k∈N*），即 為偶數（r=1，2，…， ）；其他行的所有數中，一定既有偶數又有除1以外的奇數。
（3）第p（p為素數）行除去兩端的數字1以外的所有數都能被p整除，其逆命題也成立。即對任意r∈{1，2，…，n-1}，都有 是素數。
（4）將第n行的所有數按從左到右的順序合並在一起得到的多位數等於 。
（5）第2n行的第n個數是第2n-1行的第n-1個數的2倍，即。 。
……
（三）小結
（1）請學生小結自己在研究過程中的體驗：如何選定研究線索，使用什麼方法發現結論，碰到什麼困難，如何突破創新等。
（2）教師規范對楊輝三角各性質的表述，小結探究思路。
布置作業
如圖，每一幅小圖中的圓的個數及圓上的點、線段、三角形、四邊形、五邊形、六邊形的數目有一定的變化規律，研究楊輝三角，你能找出兩者間的關系嗎？
附（1）：證明：當 時， 是奇數。
證明：對任何一個正整數m，都存在唯一的自然數 與正奇數 ，使 。設 ， ，…， ，…。
當 時，
∵上式的分子、分母都是奇數，且分式值是正整數，
∴ 是奇數。
㈢ 楊輝三角的公式及原理是什麼
楊輝三角形同時對應於二項式定理的系數。n次的二項式系數對應楊輝三角形的n + 1行。例如在中，2次的二項式正好對應楊輝三角形第3行系數1 2 1。
楊輝三角以正整數構成，數字左右對稱，每行由1開始逐漸變大，然後變小，回到1。第n行的數字個數為n個。第n行的第k個數字為組合數。
楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列。在歐洲，這個表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年發現這一規律的。
比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年。楊輝三角是中國古代數學的傑出研究成果之一，它把二項式系數圖形化，把組合數內在的一些代數性質直觀地從圖形中體現出來，是一種離散型的數與形的結合。
(3)楊輝三角經濟學擴展閱讀：
降冪公式：
1、sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
2、2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
3、tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
推導公式：
1、1tanα+cotα=2/sin2α
2、tanα-cotα=-2cot2α
3、1+cos2α=2cos^2α
4、、4-cos2α=2sin^2α
5、1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina
兩角和差：
1、1cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
2、cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
3、sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
4、4tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
5、tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
㈣ 一位成功的數學家
張丘建--<張丘建算經>
《張丘建算經》三卷，據錢寶琮考，約成書於公元466～485年間.張丘建,北魏時清河(今山東臨清一帶)人,生平不詳。最小公倍數的應用、等差數列各元素互求以及「百雞術」等是其主要成就。「百雞術」是世界著名的不定方程問題。13世紀義大利斐波那契《算經》、15世紀阿拉伯阿爾·卡西<<算術之鑰》等著作中均出現有相同的問題。
賈憲：〈〈黃帝九章算經細草〉〉
中國古典數學家在宋元時期達到了高峰，這一發展的序幕是「賈憲三角」（二項展開系數表）的發現及與之密切相關的高次開方法（「增乘開方法」）的創立。賈憲，北宋人，約於1050年左右完成〈〈黃帝九章算經細草〉〉，原書佚失，但其主要內容被楊輝（約13世紀中）著作所抄錄，因能傳世。楊輝〈〈詳解九章演算法〉〉（1261）載有「開方作法本源」圖，註明「賈憲用此術」。這就是著名的「賈憲三角」，或稱「楊輝三角」。〈〈詳解九章演算法〉〉同時錄有賈憲進行高次冪開方的「增乘開方法」。
賈憲三角在西方文獻中稱「帕斯卡三角」，1654年為法國數學家 B·帕斯卡重新發現。
秦九韶：〈〈數書九章〉〉
秦九韶（約1202～1261），字道吉，四川安岳人，先後在湖北、安徽、江蘇、浙江等地做官，1261年左右被貶至梅州（今廣東梅縣），不久死於任所。秦九韶與李冶、楊輝、朱世傑並稱宋元數學四大家。他早年在杭州「訪習於太史，又嘗從隱君子受數學」，1247年寫成著名的〈〈數書九章〉〉。〈〈數書九章〉〉全書共18卷，81題，分九大類（大衍、天時、田域、測望、賦役、錢谷、營建、軍旅、市易）。其最重要的數學成就——「大衍總數術」（一次同餘組解法）與「正負開方術」（高次方程數值解法），使這部宋代算經在中世紀世界數學史上佔有突出的地位。
李冶：《測圓海鏡》——開元術
隨著高次方程數值求解技術的發展，列方程的方法也相應產生，這就是所謂「開元術」。在傳世的宋元數學著作中，首先系統闡述開元術的是李冶的《測圓海鏡》。
李冶（1192～1279）原名李治，號敬齋，金代真定欒城人，曾任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居治學，被元世祖忽必烈聘為翰林學士，僅一年，便辭官回家。1248年撰成《測圓海鏡》，其主要目的就是說明用開元術列方程的方法。「開元術」與現代代數中的列方程法相類似，「立天元一為某某」，相當於「設x為某某」，可以說是符號代數的嘗試。李冶還有另一部數學著作《益古演段》（1259），也是講解開元術的。
朱世傑：《四元玉鑒》
朱世傑（1300前後），字漢卿，號松庭，寓居燕山（今北京附近），「以數學名家周遊湖海二十餘年」，「踵門而學者雲集」。朱世傑數學代表作有《算學啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）。《算學啟蒙》是一部通俗數學名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數學的發展。《四元玉鑒》則是中國宋元數學高峰的又一個標志，其中最傑出的數學創作有「四元術」（多元高次方程列式與消元解法）、「垛積法」（高階等差數列求和）與「招差術」（高次內插法）
華羅庚
「數學，如音樂一樣，以奇才輩出而著稱，這些人即便沒有受過正規的教育也才華橫溢。雖然華羅庚謙虛地避免使用奇才這個詞，但它卻恰當地描述了這位傑出的中國數學家。」 --G·B·Kolata
華羅庚是一個傳奇式的人物，是一個自學成才的數學家。
他1910年11月12日出生於江蘇省金壇縣一個城市貧民的家庭，1985年6月12日，中國數學屆隕滅一顆巨星-華羅庚在日本講學時不幸因心肌梗塞逝世了。
華羅庚是蜚聲中外的數學家。他是中國解析數論、典型群、矩陣幾何學、自守與多復便函數等多方面研究的創始人與開拓者。他的著名學術論文《典型域上的多元復變函數論》，由於應用了前人沒有用過的方法，在數學領域內做了開拓性的工作，於1957年榮獲我國科學一等獎。他研究的成果被國際數學界命名為「華氏定理」，「布勞威爾-加當-華定理」。華羅庚一生精勤不倦，奮斗不息，著作很多，研究領域很廣。他共發表學術論文約二百篇，專著有《堆壘素數論》、《高等數學引論》、《指數和的估計及其在數論中的應用》、《典型群》、《多復變數函數論中的典型域的分析》、《數論引導》、《數值積分及其應用》、《從單位圓談起》、《優選法》、《二階兩個自變數兩個未知函數的常系數偏微分方程》、《華羅庚論
㈤ 我國宋朝數學家楊輝在他的著作《詳解九章演算法》中提出「楊輝三角」（如下圖），此圖揭示了 (a+b) n （n為
| （1）5；1，4，6，4，1；（2）
.
㈥ 高中數學，楊輝三角。
楊輝三角是一個由數字排列成的三角形數表，一般形式如下： ㈦ 楊輝三角公式
楊輝三角，也叫賈憲三角，在外國被稱為帕斯卡三角。與我們現在的學習聯系最緊密的是2項式乘方展開式的系數規律。 ㈧ 楊輝三角的公式及原理是什麼
楊輝三角 ㈨ 楊輝三角形幾年級學 人教版好像是初三上學期學。但我們老師都不怎麼講，直接跳過，楊輝三角不屬於平時上課內容 ㈩ 什麼是楊輝三角 楊輝三角，來又稱賈憲三角形源，帕斯卡三角形，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列。左圖的表在我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章演算法》一書里就出現了。
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