测度论与经济学

㈠ 为什么测度论要建立在σ-代数上

种问题你需要比较类似但是不同的概念。你找拓扑空间比就算是找错对象了。以下是一个长答案，你得耐下性子听。因为要理解一个概念，你往往需要在一个更大的picture下面考察这个概念。首先，一般来说“最弱”的一个集合族的概念叫semiring（半环）。它比algebra还弱一点。-代数自然是最好的初学者应该考虑的概念，可以非常自然地过度到后续的积分理论，它本身具有非常棒的性质，这是教材选取它的原因。当然了，如果你学习一些“真正”的测度论，那么什么半环啊，-class, -class也是非常重要的。由于我的个人知识有限，我就谈这么点东西了。千万别在测度论学得好的人面前说什么“测度论是建立在-代数上的”，这有点以偏概全了，虽然我个人不会这样斤斤计较。PS：我这里只是谈了一种构造积分理论的路线，还有其他路线。PS: charge在刻画函数空间 的对偶空间方面具有非常好的作用（这其实也是我学习chareg唯一的原因了），只是用测度是不足以刻画大部分此类空间的对偶空间的。上述的内容来自Aliprantis 的“Infinite Dimensional Analysis.“ 这个教材虽然说是给数理经济学”学生写的“泛函分析教材”，但是就内容来说在“泛函分析”这块上非常深入。我见过的大部分数学专业博士都不具备这个教材以上的泛函分析知识。所以下次见到数理经济学的博士生千万别觉得人家的数学知识就比你“低”，他知道的你未必知道，这叫术业有专攻。当然了，这本书也比较“偏门”，就泛函来说，它有些方面非常深入，有些东西完全不涉及（比如泛函中的算子理论）。但是它在 Banach lattices (AL, AM-spaces), Riesz space 这些方面是比较好的入门教材。

㈡ 测度论与概率论属于数学哪个分支，考研报那个二级学科，我国这个方向最好的是哪所大学。

属于数理统计方面的一个独立分支。厦门大学大学就是很牛逼的，

㈢ 测度论m与m*区别，m（E）与m*（E）区别

最好把定义或者名字之类的写出来，因为不同的地方记号可能不一样。
我没猜错回的话m是Lebesgue测度，答m*是外测度。区别是：如果E是可测集，那么m(E)=m*(E)；如果E是不可测集，那么m(E)没有定义而m*(E)有定义。

㈣ 测度论与概率论基础 怎么样

第一章 可测空间和可测映射
1 集合及其运算2 集合系3 *域的生成
4 可测映射和可测函版数
5 可测函数的运算习权题1 第二章 测度空间
1 测度的定义及性质
2 外测度3 测度的扩张
4 测度空间的完全化
5 可测函数的收敛性
习题2第三章 积分 1 积分的定义2 积分的性质
3 空间Lp（X，**）
4 概率空间的积分习题3第四章 符号测度 1 符号测度
2 Hahn分解和Jordan分解
3 Radon-Nikodym定理
4 Lebesgue分解
5 条件期望和条件概率
习题4第五章 乘积空间 1 有限维乘积空间
2 多维Lebesgue-Stieltjes测度
3 可列维乘积空间的概率测度
4 任意无穷维乘积空间的概率测度
习题5
第六章 独立随机变量序列
1 零一律和三级数定理
2 强大数律3 特征函数4 弱大数律5 中心极限定理习题6

㈤ 如何自学《经济学原

不是说按这个顺序学，不然数学都学完了还没碰微经。至于顺序的话，我觉得是“（蒋中一）--Varian--Barro--Wooldridge”这个顺序下去，数学需要的时候再补。比如开始学计量了，去学下概率论和统计。需要学高级的计量了，去学下测度论。另，这个不是写给打算了解入门下经济学的同学的，是写给打算“系统地学习本科生或者研究生那样专业学习”的，当然研究生主要是靠paper。如果了解下经济学，那曼昆是很好的，但系统地学习用曼昆就比较浪费时间了，因为高级的教材基本都是self-contained，只要用中级垫下脚就够得到了，就没必要读曼昆了。（如果有公开版权的我会贴链接，不然的话请自行google，大部分都有电子版的吧）

1 数学
关于经济学要不要数学化大论战可以看看这个：经济学数学化的利弊都有什么？如何看待经济学不断数学化的趋势？ - 慧航的回答
1.0
蒋中一Alpha C.Chiang的《数理经济学的基本方法》（Fundamental Method of Mathematical Economics）
1.1 分析
张筑生的《数学分析新讲》是一本非常平易近人的入门书、我旦的陈纪修的《数学分析》也还不错，主要我蛮喜欢陈纪修老师的，就带点私货。当然，能读英文的可以读下Terence Tao（陶哲轩）的Analysis。如果能比较抽象地想问题的话，可能去看看Walter Rudin 的淑芬原理。这本书很多证明很巧妙（Left as Homework，2333）。如果已经学过简单的微积分或者淑芬，可以看看辛钦的《数学分析八讲》，只是中译本印刷错误太多，俄语我又不会。
公开课可以看看台大的高等微积分，虽然第一课故弄玄虚，但很多东西还是很有见地的。高等微积分 - 台大开放式课程 (NTU OpenCourseWare)
实分析我上课用的是周性伟的《实变函数》这本的证明非常的简略，国内可能周民强、夏道行那本用的比较多吧，夏道行口碑比较好。英语的教材挺多的，比如Royden, Rudin, Stein, Folland, etc. 但是我这块学的不咋地就不评价了。台湾的国立交大有个很不错的实变的视频。虽然是硕士生课程，但是还蛮容易懂得。国立交通大学开放式课程(OpenCourseWare, OCW)
（复分析好像经济学里没啥用，但是我想安利下，因为他很好玩并且优美，可以看看是Tristan Heedham的复分析。）
泛函什么的，Kreyszig的那本应该Introctory Functional Analysis with application应该是最容易读的了吧。我打算。。。下学期选这门课。。。

1.2 线性代数
MIT的线性代数公开课据说非常赞，我没看过，但认识的人看过都说好。毕竟是Gilbert Strang来上的。 Video Lectures
Axler的Linear Algebra done Right.这本书的翻译超级狗血，叫《线性代数应该这样学》，但是是我见过最最最最最合适的入门教材的。他会跟你讲清楚线性代数到底是怎么一回事，矩阵到底是干嘛的，矩阵的乘法为什么这么定义、矢量空间是什么鬼东西。而不是一上来告诉你一堆determinant、逆序数、矩阵分割怎么算，也不是让你一上来就解线性方程组。读此书有正三观的作用。
难一点的可以看Peter Lax的Linear Algebra and its Application（不是Lay的那本同名书，他们作者名字和书名都很像，Lay那本太关注计算了，很费时间）。这本书很虐的，读之前最好沐浴净身、请神辟邪(｡・`ω´･)。
抽代一般是用不着的，不过可能在看拓扑、实分析等内容时需要了解一点群的内容，一本很容易的教材是张禾瑞的《近世代数基础》，Artin的《代数》应该是标准教程。
1.3 概率和统计
简单地可以看钟开莱《初等概率论》，国内的陈希孺那本口碑不错，难点的（其实是很难）可以看Durrettd的Probability: Theory and example, 钟开莱《概率论教程》，Jun Shao的Mathematical Statistics，需要一点测度论知识。
然后，有为武大IAS的同学提出一定要随机过程。我自己就看过Sheldon Ross的Introction to Probability Models。是基于概率的随机过程，不需要测度论知识。已经上过概率论可以跳过前三章。例子和习题非常多==、（而且例子都要比正文难）中文翻译蛮糟糕的，英文版的好懂一点。
那位童鞋的推荐是张景波，张肖的《应用随机过程》，第一章预备知识里写着我们需要复习下关于概率测度的积分==、我就没看下去，写得挺数学的。以武大IAS的品质应该是好书。
1.4 拓扑
我目前没有读起来特别顺的拓扑书。。。大概是拓扑本来就很奇怪。。。
比较详细的是Munkres的topology. 不过这本书读起来很慢，因为非常非常细碎，会让人失去耐心。没耐心的同学不妨看看Armstrong的Basic Topology，进度快一点。 Janich的Topology虽然是给本科生写的，但我觉得这个书应该是学完一遍拓扑后再看，不能用这本学拓扑。国内尤承业的好像比较常用吧。
1.5 软件
一般的数学运算，比如求个逆矩阵、对角化、积分，这个就够了
Wolfram|Alpha: Computational Knowledge Engine
计量我推荐用SciPy自己鼓捣，R也很好。而且不要钱。
如果有钱的话Mathematica、maple、matlab、stata、eviews、spss都好用啦。对于各个软件的好坏，知乎有很多圣战，可自行浏览。我一般是用R。这些收费软件也有免费替代品，比如Octave、Sage等等。
2 经济学
2.1 微观经济学
简单的就Varian的Intermediate Microeconomics：a modern approach。几乎不用什么数学。
我们当时老师教微观的时候是用的自己的lecture notes, 从效用函数讲起，过度到multi-periods，再加入uncertainty。接下去就开始讨论社会主义（dictatorship）和contract theory之类以及后面的拓展了。整个学期就没讲什么供求曲线。当时Varian那本书是我们的参考书，但他上课完全没有讲。但我上这么课最大的收获，不在于学到多少经济学知识，而是学会在一个给定的环境下，如何把情形抽象化，并用最简单的数学工具搭建起一个简单的模型。然后再一步步地扩充模型。其次告诉了你，微观的核心就是“选择”这个行为。这个要比你在读曼昆的书，死记硬背下那些什么十大原理要有用的多。
另，我们当时其他老师的微经教材主要是平狄克的。我不喜欢那本书，现实的例子太多。数据、图表太多。（而且啰嗦）在入门时候用这些，我认为是不好的，虽然他能让你把经济理论和现实联系在一起，但很容易让你犯一些逻辑错误，特别是用图表来呈现数据，得出的结论很可能是误导性的。（经典例子，警察越多小偷越多，要降低犯罪率应该裁掉警察。）不然干嘛要用发明计量这个东西出来啊摔。
中文的话平新乔有本《微观经济学十八讲》还不错，简洁清楚。
高级一点的最经典就是MWG Microeconomic Theory。大网络全书，但是有点旧。不过新理论也主要靠论文而不是教材。（吐槽一句，我现在有一门通识课老师拿这本书来给非经济专业的同学入门用，因为他导师是作者之一。。。）
此外Rubinstein有个免费的Lecture Notes On Microeconomics ， 也很不错。Rubinstein, A.: Lecture Notes in Microeconomic Theory.
2.2宏观经济学
不用读曼昆的宏观，真的很糟糕。我当时开始学的哪个老师就是用曼昆的。（我的微经老师当年就吐槽过在上完他的微经在本校就遇不到这么厉害的老师了。）
一般比较好的凯恩斯主义的是Blanchard的宏观，国内大多数经济学专业都是学的凯恩斯主义的宏观。这本书至少把凯恩斯主义的大多数基本模型都讲得很清楚。
但我更推荐看Robert Barrro的Macroeconomics: A Modern Approach. 这本算是新古典的代表教材，好处在于方法上和微观保持一致。凯恩斯主义的宏观教材往往会让人觉得和微观没什么关系，是完全风马牛不相及的学问。
高级的微观基本就是Romer和Sargent吧，另外可以参考数学系的人打算了解一下经济学，看什么书合适？ - 慧航的回答，他给的那些宏观我都没看到过。。。。但这个回答里的书基本那都是研究生的教材，我的回答里面会多一点基础的教材。
2.3计量经济学
先搞定统计和概率论。
计量入门一般是Gujarati的Basic Econometrics或者Wooldridge的Introctory Econometrics: A
Modern Approach (一般会写modern approach的都还不错的。)
Reced form的可以看看Most Harmless Econometrics（《基本无害的计量经济学》）。很有趣。。
高级一般是Greene，Wooldridge（panel data那本），Hayashi三位大神。

2.4 博弈论
我室友比较推崇神取道宏（Kandori Michihiro），总是说他是距诺奖最近的。
一般的入门书是Gibbons, A Primer in Game Theory. 作者好像还有一本书Game Theory for Applied Economists，但内容和这个是一样的。我们上课的是谢识予的经济博弈论，我觉得写得很清楚，甚至有点啰嗦了。
进阶的书，如果不怕被虐可以看Osborne的A Course in Game Theory.
比较有趣的有本Binmore的Play for Real，内容比较杂，但是引人思考。
另外还有Fernando Vega-Redondo的Economics and the Theory of Games 和 Fudenberg&Tirole也听说适合进阶阅读。（都么看过。。）（再注一下，后面那本的作者Jean Tirole今年刚拿了诺奖==、）

2.5 金融
先安利下史树中《金融经济学》。
【待补】
2.6 优化
Dixit
蒋中一
【待补】
================================
这是原来的开头。。。。。
1. 不学经济学理论就来，上来就读学经济史的就是耍流氓。因为你根本没办法判断作者给的结论是不是对的，是不是有逻辑错误。并且，古代人的行为准则和资本主义世纪以来，有很大不同，古代的经济现象不一定是符合现带经济理论的。比如现代经济理论要求的个体假设、完全信息假设、理性人假、市场有效性假设（并非所有理论都有这些假设，但基础的经济学理论是有这个假设的）设在古代史不完全一致的。而且古代的知识构建范式和现代史不同的，就像管仲也提出了国营经济（盐铁专营）、政府要大力投资基础设施建设等一系列看起来很现代的政策，如果你不知道古代知识体系和现代知识体系范式构建的区别的话，就会觉得凯恩斯主义早就有了。。。
2. 不要读《资本论》、《通论》、《国富论》，这些经济著作，在早期政治经济学（或早期宏观）中确实有重要的地位，但是一来，这些书没有清晰的理论架构（假设、结论、推导）。这点是非常重要的，因为当你不清楚一个理论的假设、前提的时候，可能正反的结论都是对的。比如宏观里面的汇率问题，变一个假设结论和路径就全变了。而这些书是经济思想的萌芽阶段的书，他可能是有连贯一致的逻辑的，但在表现上会更混乱。比如《国富论》在论证分工的有效性、金价谷价的波动时候用了很大的篇章，举了很多数据。（光是单位换算就能烦死你）而用现在经济理论几句话就能解释了。同理，像某位答主给了几百本汉译名名著蓝皮书，这对专业（政治）经济学以及现在很多的制度经济学、法经济学等学者而言是很有用的，但对于一个没有经济学基础的人来讲，这些书很可能会看成“民经”。就像现在学物理学，朗道、费曼的书是经典，也是教材，但牛顿的《自然哲学的数学原理》绝不是好的入门教材。为什么中国的经济学家大都信奉西方经济学，马克思的经济学真的不实用吗？这个问题下面也有几个好的答案。
3. 放弃高鸿业、曼昆。就像谭浩强的C语言教材是一本很经典的教材，但现在基本都被更好的教材取代了。我认为，一本好的教材应该有三个特征：1）逻辑一致；2）内容自洽（self-contained，即不需要你了解很多其他基础知识）；3）良好、简洁的论述。像曼昆的宏观，不同章节之间没有什么联系，一开始学很可能根本不知道为什么下一张就变成了这个东西。而且没有IS-LM模型直接跳到AD-AS模型也很令人犯糊涂。
4. 明确你要学的是经济学还是经济，后者需要你了解一系列现实，但是前者（大部分）只需要逻辑。后文主要针对前者而言。下面这些内容可能不能帮你了解很多关于经济的知识，甚至不能让你了解经济学的大部分内容。但至少能让你知道现代的经济学是一门怎样的学问。所以只包括了一些最最基本的内容，而不会涉及到金融、贸易、财政、制度经济学、奥地利学派、会计学、行为经济学、网络经济学、神经经济学（嗯，比如汪丁丁）、股票技术分析等一些列你之后才需要学的东西。【补，这部分我开始觉得这么两分不太妥当，因为经济和经济学不能截然分开，一个比较好的例子是：比如券商的研究员，他们的研究是运用经济理论来研究现在的经济现象，比如预测预测某行业的下半年经济状况或者央行加息对经济有啥影响。我把这样的人视为研究经济的。研究经济学的人，比如我的一个老师，他目前研究的课题是动态合约的最优终止条件，这是经济学里的重要问题，虽然他可能并不了解目前的经济状况。】
5 如何学习经济学?这个问题下面FlyRiderR的回答值得看看。

㈥ 测度论与概率，高悬赏

D(aX+Y)=a²D(X)+D(Y)+2aCov(X,Y)

若相关系数=-1，a>0;
Cov(X,Y)=-根号D(X)D(Y)
D(aX+Y)=a²D(X)+D(Y)-2a根号(D(X)D(Y))=(a根号D(X)-根号D(Y))²

又
Y=n-aX
D(Y)=D(n-aX)=a²D(X)
a根号D(X)=根号D(Y)

所以专D(aX+Y)=0

於是aX+Y方差为 0
aX+Y 100%等於一个常数属
--------------------------------------------------------------------------
若相关系数=1，a<0;
Cov(X,Y)=-根号D(X)D(Y)
D(aX+Y)=a²D(X)+D(Y)+2a根号(D(X)D(Y))=(-a根号D(X)+根号D(Y))² （a<0,a²开根号=-a）
因为a根号D(X)=根号D(Y)

D(aX+Y)=0

於是aX+Y 方差为0
aX+Y 100%等於一个常数

㈦ 郑维行的《实变函数与泛函分析概要》与程其襄的《实变函数与泛函分析基础》有什么区别

内容基本差不多，在集合论部分郑书多给了一些拓扑定义，然后还讲了一些有关序和选择公理的东西，程书把序和选择公理放在附录做简单说明，但是这一部分对实变函数学习影响不大，测度论方面郑书从外测度、内测度出发给出测度，按照勒贝格最早建立测度论的顺序来，操作较复杂，而程书给出外测度后直接由卡拉泰奥多里条件定义测度，简单但抽象，两种定义实际等价，那种容易接受还要看个人习惯。此外，郑书另外讲了σ环。可测函数部分郑书对一些定理的证明思路偏爱用简单函数逼近，程书喜欢按可测定义来做，各有千秋，主要定理，比如叶果洛夫定理、鲁津定理、勒贝格定理、里斯定理证明也都差不多。积分论前半部分，郑书感觉条理比较乱，比如第二节一下很多性质，程书是按简单、非负、一般的顺序分节叙述的。那种好接受也要看个人习惯，然后是后半部分，郑书对富比尼定理讲得较多，但微分讲得较少，程书富比尼讲得少，但是微分另成一章，讲得很细。泛函部分感觉程书更好一些，郑书有部分定理证明有瑕疵。对经济学来书测度论和积分论对学习高等概率论有用，所以实变部分很重要，可任选一本作为主要学习的教材，另一本最好有电子版，互相参考。如果感觉两本都太基础可选用周民强《实变函数论》

㈧ 急求程士宏版《测度论与概率基础》详解课后答案！！可有偿

同学你好，你可以去学糕找啊，里面的答案都很详细全面，我以前就用的学糕，希望我的回答对你有帮助，望采纳

㈨ 什么是测度

20世纪初测度论的建立，使得人们对R中的子集关于n维勒贝格测度μn的行为有了很好的了解。大部分函数论由于勒贝格积分论而产生了巨大变化。但是在处理与R中低维点集有关的数学问题时遇到了困难。例如著名的普拉托问题，在二维曲面时尚可以结合共形变换和狄利克雷原理巧妙地应用勒贝格方法而解决。而在曲面的维数超出2时,这些经典的方法就失败了。几何测度论正是在这种背景下产生。它始于1914年C.卡拉西奥多里关于测度论的基础性工作，经过几十年的发展，熔合了来自分析、几何、代数拓扑中的许多技巧，产生了许多新的概念，成为数学研究的一个有力工具。
豪斯多夫测度与可求积集合在卡拉西奥多里的工作出现以后的开始20～30年内，大部分的兴趣在于了解R中的子集关于m 维豪斯多夫测度, 积分几何测度等各类测度的行为。对于A嶅R,0≤k0,定义A的k维豪斯多夫测度（简称h测度）为几何测度论
，
式中几何测度论
。h测度是R中的一个博雷尔正则测度。又定义inf{k:h(A)=0}为A的豪斯多夫维数,简称h 维数。当k=n时，h(A)=μn(A)，n=0时h(A)为A的元素个数。0和n中间每个数均可出现为R中某个子集的h 维数。例如康托尔集的h 维数为ln2/ln3。
设A的h测度有限, 在k>0时,若存在R中某个有界子集到 A的李普希茨映射（即二点距离的增长比受到某个正常数控制的映射）,那就称A为k可求积集（k=0时为有限集，也称可求积集）。如果A除了一个h测度为0的子集外,为可列个k可求积集合覆盖,就称A为(h,k)可求积集。集合的可求积性质是一阶光滑流形的某种推广。事实上,A为(h,k)可求积集合的充要条件是：除了一个h测度为0的子集外,它可由R中可列个C类k维子流形所覆盖。可求积集合的这种描述使得对于它的构造的研究，特别是它的射影性质的研究成为几何测度论的重要内容。在A不含有h测度大于0的k可求积子集时,称A为纯粹(h,k)不可求积集合。
设p:R→R为正交射影,即保持内积不变的线性映射。其共轭记为p,它的全体记为几何测度论
(n,k),正交群O(n)=O(n,n)通过右乘可递地作用在几何测度论
(n, k)上。这个运算在几何测度论
(n,k)上诱导出惟一的不变测度θ,使得空间几何测度论
(n,k)关于θ的全测度等于1，那么当A为(h,k)可求积集合时，成立几何测度论
式中几何测度论
。上式右边即为A的积分几何测度I几何测度论
，它先在A与n-k维仿射子空间p(y)的交集上积分，然后让p取遍所有正交射影。因此这个式子反应了 (h，k)可求积集合的射影性质。这是求平面曲线长度的克罗夫顿方法的推广，也类似于柯西寻求凸体周界面积的方法。另一方面, 对于h测度有限的任何博雷尔集B，总存在博雷尔子集C嶅B,使得几何测度论
，几何测度论
,且(B\C为纯粹(h,k)不可求积。进一步,几何测度论
成立,当且仅当B为(h,k)可求积。以上这些结果首先为A.S.贝斯尔科里奇对平面上的h测度得到。1947年，H.费德雷尔证明了一般情形。
在几何测度论发展早期就知道，对于R中每个勒贝格可测集W以及R到R的李普希茨映射ƒ，有面积公式几何测度论
，
式中Jkƒ(x)为ƒ的雅可比式。在ƒ为一一时，右边的积分就等于h(ƒ(W)),因此对于n可求积集合,它的h测度就等于微分几何中的 n维体积。利用映射在一点“近似可微”这个概念, 可以将这个公式推广到R中的(h,k)可求积集合。但在ƒ(W )的h 维数小于n时，公式反映的信息很少。1957年，费德雷尔证明：对每个李普希茨映射几何测度论
,及每个μn可测集W 成立余面积公式：几何测度论
。
面积公式与余面积公式分别应用于目标空间的维数至少为n与至多为n的情形。因此可将它们看成是对偶的公式，余面积公式也已被推广到(h,k)可求积集合的情形。这些公式的研究使得人们了解到，关于可微映射的积分变换的本质上的假定在于对这个映射的雅可比式秩的限制。
密度密度与近似切锥是描述一个测度局部行为的两个重要概念。对于拉东测度v，以α为心,r为半径的球关于v的测度与几何测度论
的比值，在r→0时的上极限与下极限分别称为测度v在α点的k维上密度与k维下密度。二者相等时就称为k维密度几何测度论
(v,α)。利用上密度可以定义集合的近似切锥，它何时成为向量空间与该集合的可求积性质和射影性质有着深刻的联系。利用密度定义的另一个重要概念是集合在一点的外法线。当集合有光滑边界时，这个概念非常直观，在一般情形相当复杂。
给定点集Q，如下定义新的测度у墯Q:集合G关于у墯Q 的测度у墯Q(G)=у(Q∩G)。集合A在一点b的外法线是如下确定的一个单位向量u=n(A，b),当Q1为过b点且以u为法向的超平面围成的半空间(x-b)·u>0时，几何测度论
几何测度论
,Q2为另一半空间(x-b)·u<0时,几何测度论
。这个概念只含有点集A关于μn的测度论行为，而不用预先知道A的拓扑结构,甚至边界的概念也未提到。这样可塑的概念使高斯-格林公式推广到相当一般的程度:设集合A嶅R,令几何测度论
,几何测度论
。如果对每个紧集几何测度论
,那么对R上有紧集的每个李普希茨一阶向量场ξ，成立几何测度论
。
另一方面，若以BdryA记A的普通边界，那么在对R的每个紧集K，都有几何测度论
时,上述条件满足，从而推广的高斯-格林公式也成立。
整流长期以来，人们就寻求着n维空间中“k维积分区域”的分析与拓扑的描述。这个概念应该保留微分流形的光滑性与整系数多面体链的组合性质所带来的好处，同时为满足变分的需要，这类区域应具有某种紧致性质。“整流”正是为这样的需要而产生。
设U 为R中的开集，以几何测度论
(U)记紧支集落在U内的m 阶光滑微分形式全体。几何测度论
(U)上的线性泛函称为m维流,其全体记为几何测度论
m(U)。流S ∈几何测度论
m(U)的支集sptS理解为U内的最小相对紧子集C, 使得对一切满足 sptφCU\C的 φ∈几何测度论
(U ), 有S(φ)=0。流这个概念是由法国数学家G.-W.德·拉姆为研究霍奇理论而引入的。由于一个曲面决定于对定义在它上面的任意 m阶光滑微分形式的积分运算。因此m 维几何曲面可以分析地表示成一个流。特别地,由点α0,α1,…,αm生成的单纯形若落在U内,那么它也代表一个流。这种流的整系数线性组合，称为U中的一个整系数多面体链。如果一个流可以用整系数多面体链关于李普希茨映射的像来逼近，就称它为可求积流。利用边缘算子д可以构成新的流дS,定义为дS(φ)=S(dφ)。这里d为外微分运算，如果S与дS均为可求积流,就称S为整流。例如每个一维整流是总长度小于∞的有限多条单弧与可数条单闭弧的和。R 中的每个n维整流可表示成几何测度论
,其中e1,e2,…,en为R的切空间的标准基，A为使得推广的高斯-格林公式成立的勒贝格可测集。当1<m<n时，R中的m维整流是相当复杂的。但重要的是，由紧支集在同一有界集内且按某个范数有界的整流组成的集是紧的。正是这一点形成了变分学中新的几何方法。
如果流S可以表示成R+дT，R和T都是可求积流,就称S为整平坦链。利用边缘算子可以建立这类流的同调理论。它与局部李普希茨范畴内的、整系数的经典奇异同调论同构。但对于积分问题，相交理论等，这种链群明显地优于奇异链群。因为与奇异链不一样，一条平坦链与其分刈等同,这就简化了循环的构造,并得到较好的实系数上循环。不仅如此，还发现所谓的等周不等式不仅对经典的微分几何中某些特殊情形成立，而且对这种同调论有类似估计，这就将代数拓扑与测度论联系起来了。
可以用流的理论来研究普拉托问题，存在性定理表明极小曲面总是一个m维局部可求积流，即这样的流S∈几何测度论
m(U),对每个x∈U，总存在紧支集在U内的可求积流R，使x媂spt(S-R)。曲面的光滑性问题就是sptS的光滑性问题。若α∈sptS存在领域V嶅R,使V∩sptS为C类m维子流形,就称α为正则点，否则就称奇点。由于几何测度论的发展,使高维普拉托问题取得重大进展。当m ≤6时极小曲面是光滑的,在m≥7时奇点集的h 维数不超过m-7。
类似于局部可求积流，可以定义局部整流，局部整平坦流。后者与流形上分析中的实解析子簇与复解析子簇有十分密切的关系。
弱可微函数又称有界变差函数。R上光滑函数的可微性可以用这样的方法来刻画：对于R上有紧支集的李普希茨向量场ξ，成立
几何测度论
，但是右边的积分并不一定要求ƒ光滑,仅要求ƒ局部μn可积。因此ξ(x)的这个线性泛函可以看成 ƒ 的测度论意义下的弱微分，只要它满足里斯表示定理的有界性假定。这种ƒ 称作弱可微函数。开集几何测度论
上的弱可微函数全体记为BV(几何测度论
),则BV(几何测度论
)按范数几何测度论
形成巴拿赫空间。弱可微函数曾在各种场合下出现，首先在勒贝格面积论，而后在偏微分方程论中，特别地，它是极小曲面的理论中的有力工具。
参考书目
H. Federer,Geometric Measure Theory,Springer-Verlag, Berlin, 1969.
E.Giusti,MiniMal Surfaces and Functions of Bounded variation,Birkh user, Basel-Stuttgart, 1984.
H.Whitney,Geometric Integration Theory,PrincetonUniv. Press, Princeton, 1957.